大家好，张承辉博客来为大家解答以上问题。曲率半径如何求，曲率半径如何计算？很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
1、 平面中两个坐标轴上的变量x和y之间的关系
2、 F(x，y)=0
3、 形成平面曲线。
4、 在三维空间中，变量xy和Z在三个坐标轴上的关系：
5、 F(x，y，z)=0
6、 形成曲面。
7、 两个曲面的交点就是我们将要讨论的主角空间曲线：
8、 F (x，y，z)=0
9、 F(x,y,z)=0
10、 当f满足隐函数定理的条件时，我们可以从方程1求解：
11、 z=G(x，y)
12、 代入等式2得到：
13、 G(x,y)=F(x,y,G(x,y))=0
14、 同样，当G也满足隐函数定理的条件时，有：
15、 y=H(x)
16、 然后，设x=t，最后你会得到方程：
17、 X=x (t)=t
18、 y=y(t)=H(t)
19、 z=z(t)=G(t，H(t))
20、 这是空间曲线的参数方程。把它写成向量函数的形式：
21、 r(t)=(x(t)，y(t)，z(t))
22、 首先由欧拉介绍的曲线的参数表示清楚地表明：
23、 曲线R是从一维空间R到三维空间R的映射.固定接地
24、 也就是说，对于一维空间R中的每一个点t，都有一个三维空间R中的点r(t)与之对应，所有这些点r(t)构成了整条曲线。固定接地
25、 空间R，在每个点P的导数，被定义为：
26、 r'(t)=(x'(t)，y'(t)，z'(t))
27、 它是p点的切向量，表示曲线在该点的变化。
28、 如果把空间曲线R的参数T看作时间轴，曲线就是质点M的轨迹，P处的切向量R(T)就是M在P处的瞬时速度，R(T)的方向就是速度方向，| R(T)|就是速度块慢度。
29、 高斯很早以前就发现，曲线参数的选择与曲线的形状无关，也就是说，随着参数的不同，组成曲线的点并没有发生变化，只是从R点到曲线的点的对应关系发生了变化。
30、 例如，对于一条曲线，r (t)=(t，t，0)，设t=At，得到：
31、 r(At)=((At)，At，0)
32、 改变相当于选择不同的参数T，如下图所示：
33、 在图中我们可以看到，随着a的变化，曲线的形状保持不变，只有t=1，2，3对应的曲线中的位置在变化。
34、 因为曲线的形状保持不变，所以曲线在任一点P的切线也是固定的，所以点P的切向量的方向保持不变。如上图所示，变化的只是切线向量的长度，因为它表示的是曲线弧长随参数的变化率，也就是上面质点M的速度。
35、 图中，点p=(1，1)对应t=1/A，所以p处的切向量为：
36、 r'(1)=(3A t，A，0)|_{t=1/A}=(3A，A，0)
37、 它的方向向量是：
38、 R’ (1)/| R’ (1) |=(3a，a，0)/ [(3a) A0]=(3/ 10，1/ 10，0)。
39、 显然和a无关。
40、 为了保证曲线的形状不受参数选取的影响，我们可以适当选取参数t=t(s)使得R在每个点P的切向量r'(s)为单位向量，即|r'(s)|=1。s称为自然参数。固定接地
41、 这样，设(s)=r'(s)，只表示曲线的方向。因此，’是曲线方向的变化，其大小代表曲线的弯曲程度，称为曲率，记为(s)=|'(s)|。同时，设(s)=(s)/|(s)|表示弯曲方向。
42、 因为：杨
43、 =||=1
44、 所以，
45、 0=1’=()’=’ ‘=2’
46、 因此，
47、 ‘ =0
48、 这说明’，也就是 ，所以和所在的平面称为亲密平面。
49、 对于自然参数曲线r(s)，我们也可以使s=s(t)并将r(s)改回通用参数：
50、 r(t)=r(s(t))
51、 在等式的两边，t的导数如下获得
52、 r'(t)=r'(s)s'(t)=(s)s'(t)
53、 因此，切线向量方向为：
54、 r ‘(t)/| r ‘(t)|=(s)s ‘(t)/|(s)s ‘(t)|=sing(s ‘(t))(s)
55、 可以看出，对于切向量方向，参数变化只能影响正负方向。
56、 而切线向量大小是：
57、 | r ‘(t)|=|(s)s ‘(t)|=|(s)| | s ‘(t)|=| s ‘(t)|
58、 可以看出，切向量的大小完全由参数选择决定，与曲线r无关。
59、 在方程的两边，继续对t求导，得到：
60、 r”(t)=((
61、然后，我们将，等式两边分别与等式①两边叉乘，有：垍
62、r'(t)×r”(t)=α(s)s'(t)×(α'(s)(s'(t))²+α(s)s”(t))=(α(s)×α'(s))(s'(t))³+(α(s)×α(s))s'(t)s”(t)=(α(s)×α'(s))(s'(t))³
63、于是，
64、|r'(t)×r”(t)|=|(α(s)×α'(s))(s'(t))³|=|α(s)×α'(s)||s'(t)|³=|α(s)||α'(s)|sin∠αα’|s'(t)|³
65、根据，
66、|α(s)|=1,κ=|α'(s)|,α’⊥α，|s'(t)|=|r'(t)|
67、有，垍
68、|r'(t)×r”(t)|=κ|r'(t)|³垍
69、最终得到，一般参数曲线的曲率计算公式：
70、κ=|r'(t)×r”(t)|/|r'(t)|³
71、半径为r(≥0)，圆心在原点，位于XY平面的圆的向量函数为：
72、r(t)=(rcost,rsint,0)垍
73、于是，
74、r'(t)=(-rsint,rcost,0)垍
75、r”(t)=(-rcost,-rsint,0)垍
76、r'(t)×r”(t)=(0,0,(-rsint)(-rsint)-(-rcost)(rcost))=(0,0,r²)
77、|r'(t)×r”(t)|=r²
78、|r'(t)|=r
79、根据上面的曲率计算公式，我们就可以算出圆的曲率为：垍
80、κ=r²/r³=1/r
81、可见圆的曲率是一个常数。垍
82、设自然参数曲线r上p点的曲率为κ，我们称同样过p点位于密切平面的和r在p点共切线的，曲率是κ的圆为曲率圆，曲率圆的半径称为曲率半径。
83、因为圆的曲率为κ=1/r，所以，垍
84、曲率半径=1/κ
85、这就是曲率半径的计算公式。
86、关于，最初，例子中的曲线：垍
87、r(t)=(t³,t,0)
88、有：垍
89、r'(t)=(3t²,1,0)
90、r”(t)=(6t,0,0)垍
91、r'(t)×r”(t)=(0,0,-6t)
92、|r'(t)×r”(t)|=6|t|
93、|r'(t)|=√(9t⁴+1)
94、κ=6|t|/(√(9t⁴+1))³
95、于是，垍
96、曲率半径=(√(9t⁴+1))³/6|t|
97、总结：曲率半径就是1/κ，因此计算曲率半径的关键是计算曲线的曲率κ，
98、对于自然参数曲线r(s)，使用定义：κ(s)=|r”(s)|；
99、对于一般参数曲线r(t)，使用公式：κ(t)=|r'(t)×r”(t)|/|r'(t)|³。垍
100、补充（2020/4/1）：
101、如果平面曲线F(x,y)=0中的F满足隐函数定理条件，则存在函数：
102、y=f(x)
103、写成空间参数曲线形式为：垍
104、r(x)=(x,f(x),0)垍
105、于是：
106、r'(x)=(1,f'(x),0)
107、r”(x)=(0,f”(x),0)
108、r'(x)×r”(x)=(0,0,f”(x))
109、|r'(x)×r”(x)|=|f”(x)|垍
110、|r'(x)|=√(1+(f'(x))²)
111、最后，得到函数的曲率计算公式：
112、κ(x)=|f”(x)|/(√(1+(f'(x))²))³
113、最初的例子中，曲线对应的函数为：
114、y=x³
115、根据上面的公式，计算曲率为：
116、κ(x)=|6x|/(√(1+9x⁴))³
117、这与上面的计算结果一致。
118、上半边圆的函数为：
119、y=√(r²-x²)
120、根据上面的公式，计算曲率为：
121、κ(x)=|-(r²/(√(r²-x²))³|/(√(1+(-x/√(r²-x²))²))³=r²/(√(r²-x²))³/(√(r²/(r²-x²)))³=1/r
122、这也与上面的计算结果一致。
本文到此结束，希望对大家有所帮助。