这个问题其实比较复杂。严格的证明需要用到张量等一些高等数学的工具。只能简单地说说。“液体内部同一深度各方向压强相等”这个结论。只有在牛顿流体中才成立。什么是牛顿流体呢。就是液体内部相互之间只有正压力。不存在切向力。也就是说液体没有粘度。上半部分的液体不会给下半部分的液体施加水平方向上的力。同样。左边的液体也不会给右边的液体施加竖直方向上的力。这是个基本假设。实际上自然界不存在真正的牛顿流体。但像水之类的粘度比较小的液体可以看成是牛顿流体。
在牛顿流体的基本假设下。我在液体内部取一个微元。这个微元受哪些力呢。自然受到了六个方向上的正压力。而没有切向方向的受力。由于液体是静止的液体。因此水平方向的压力要相互平衡。竖直方向的压力要和这个微元的重力平衡。
不仅如此。这些力还有个条件。比如水平方向上的力。两个相互平衡的力会使水的微元有向另一个方向拉伸的趋势。因为它没有切向力平衡。所以在拉伸方向上必须有另一对平衡力。而根据水的各向同性。这两对平衡力必须要等大。否则要么就不满足平衡条件。要么水就是各向异性。竖直方向也同理。