四阶行列式的展开式(四阶行列式万能公式)

一般说来,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,我们自然地考虑到利用低阶行列式来表示高阶行列式的问题,为此,先引进余子式和代数余子式的概念。

在n阶行列式中,把元素所在的第行和第列划去后,留下来的阶行列式叫做元素余子式,记作;记叫做元素代数余子式

例如四阶行列式

中的元素的余子式和代数余子式分别为

引理 一个n阶行列式,如果其中第行所有元素除外都为零,那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积,即

先证位于第1行第1列的情形,此时

这种情形,明显有

,从而

再证一般情形,此时

将第在行与第1行对调,调换次数为;再将第与第1列对调,调换次数为。经过调换,将调到左上角,所得的行列式,而元素中的余子式仍然是中的余子式

由于位于的左上角,利用前面的结果,有,于是

定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

根据引理,即得:

类似地,若按列证明,可得 证毕。

这个定理叫做行列式按行(列)展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质,可以简单化行列式的计算。

保留,把第3行其余元素变为0,然后按第3行展开:

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