卡尔·弗里德里希·高斯（1777~1855）是一个神童。19岁差一个月的他作出了一项非凡的发现。
2000多年以来，人们知道如何用直尺和圆规作等边三角形和正五边形，但不知道如何作出边数为素数的正多边形。高斯证明，正七边形也能用直尺和圆规作出。
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高斯日记
高斯通过写日记来纪念他的发现，在接下来的18年里，他在这本日记中记下了他的很多发现。他还是一个学生的时候就获得了很多成功。
其中有一些是对欧拉、拉格朗日及其他18世纪数学家们已经证明的定理的重新发现；有很多是新发现。
在他学生时代的更重要的发现中，我们可以挑出最小平方法、数论中二次互反律的证明，以及他对代数基本定理的研究。
他获得了博士学位，学位论文的标题是《关于所有含一个变量的有理代数整函数都能分解为一次或二次实因子的定理的新证明》。
这是他一生中所发表的代数基本定理的4个证明当中的第一个，在这篇论文中，高斯强调了在证明这个定理的过程中证实至少有一个根的重要性。下面的说明可以显示他的思路。
我们可用图示的方法解方程
证明存在一个复数值z=a+bi满足这个方程。用a+bi取代z，并分开方程中的实数部分和虚数部分，我们就得到a^2-b^2=0和ab-2=0。
把a和b解释为变量，并在同一坐标系中画出这些函数，一个坐标轴代表实数部分a，另一个坐标轴代表虚数部分b，我们就有了两条曲线；
一条由直线a+b=0和a-b=0构成，另一条由等轴双曲线ab=+2构成。
很显然，这两条曲线有一个交点P在第一象限。我们应该特别注意，第一条曲线的一条分支沿着θ=1π/4和θ=3π/4的方向离开原点；
第二条曲线的一条分支渐近地向着θ=0π/4和θ=2π/4的方向移动；交点在最后两个方向θ=0和θ=π/2之间。这个交点的a和b的坐标是方程z^2-4i=0的一个解的实数部分和虚数部分。
假如我们最初的多项式方程是三次而不是二次，则一条曲线的一根分支就会趋近于θ=1π/6和θ=3π/6的方向，另一条曲线就会趋近于θ=0π/6和θ=2π/6的方向。
在每一种情况下这些分支都是连续的，因此，它们一定要相交于θ=0至θ=π/3之间的某个地方。
对于一个n次方程来说，一条曲线的一根分支有渐近方向θ=1π/2n和θ=3π/2n，而另一条曲线的分支有渐近方向θ=0π/2n和θ=2π/2n。
这些分支必定相交于从θ=0至θ=π/n之间，这个交点的a和b的坐标，就是满足这个方程的复数的实数部分和虚数部分。因此我们看到，不管一个多项式方程的次数是几，它必定至少有一个复数根。
我们会注意到，高斯依靠这些曲线的图示来证明它们相交。承认这个结果，多项式方程可以分解为一次或二次实因子也就得到了证明。
数论
高斯在他还是哥廷根大学的一名学生的时候，就开始撰写一部重要的数论著作——《算术研究》，是数学文献中的伟大经典之一，在他的博士论文通过两年之后出版。
此书由7个部分组成。前4个部分本质上是对18世纪数论的浓缩重构。讨论的基本原则是同余和剩余类的概念。第5部分致力于二元二次型理论，特别是形如
的方程的解的问题；这一部分所发展出来的技术，成了后来一代代数论学家所做的大量工作的基础。第6部分由各种不同的应用所组成。最后一部分起初吸引了最多的关注，处理的是次数为素数的割圆方程的解。
高斯把勒让德在两年前发表的二次互反律称作黄金定律。在后来的作品中，高斯试图得出同余式x^n=p(modq)对于n=3和4的类似定理；
但对这两种情况，他发现有必要把“整数”这个词的意义扩大到包括所谓的高斯整数，亦即形如a+bi的整数，式中，a和b都是整数。高斯整数构成了一个整环，像实整数整环一样，但更一般。
可整除性的问题变得更复杂，因为5不再是一个素数，可分解为两个“素数”1+2i和1-2i的乘积。
事实上，任何形如4n+1的实素数都不是“高斯素数”，而形如4n-1的实素数依然是一般化意义上的素数。
在高斯的《算术研究》中，包括了算术基本定理，它是在高斯整数的整环中继续有效的基本原理之一。事实上，任何一个因子分解是唯一的整环今天都被称作高斯整环。
《算术研究》的贡献之一是下面这个定理的证明，这个定理自欧几里得时代以来就被人所知：
任何一个正整数都可以用一种、且只能用一种方式表示为素数的乘积。
高斯关于素数的发现，并没有全都包含在《算术研究》中。在他还是一个14岁的孩子时，高斯就在一张对数表的背面，用德文写下了这样一行隐晦的文字：
这行文字说的是一个著名的素数定理：小于给定整数a的素数的个数在a无穷递增时趋近于a/lna。
正如我们已经看到的那样，勒让德曾经接近于预先发现这个定理；但奇怪的是，正如我们所推测的那样，高斯写下了这个定理，但他一直对这个巧妙的结论保守秘密。
我们不知道他是否证明了这个定理，甚至也不知道他何时写下了这个定理的陈述。素数的分布对数学家有着强烈的吸引力。