1735年，随着巴塞尔级数和的成功破解，欧拉逐渐成为18世纪数学的领军人物。
我们先来回顾一下什么是巴塞尔系列。
巴塞尔系列
如果把这里的2换成1，就是著名的调和级数。戏谑地说，调和系列应该是巴塞尔系列的大哥，因为无论是诞生历史还是内容深度，它都远胜于二哥。
为什么这个系列会有这么新鲜的名字？谐波级数“谐波”是什么？
这个级数的名称来源于泛音和谐波级数(英文为harmonic series和harmonic series):振动弦的泛音波长依次为基波波长的1/2、1/3、1/4，以此类推。
谐波系
看到这个系列，有一种让人想总结的冲动。但是对于一个级数，如果要求和，首先你得证明收敛性。巴塞尔级数的收敛性得到了很好的证明。但是对于调和级数，敛散性就不那么明显了。
中世纪欧洲
大约在1360年，Nicole oris已经证明了调和级数是发散的，既然是发散的，就不可能求出这个级数的和。他的证明方法其实并不是什么高深的技巧，而是一种证明不等式的基本方法，标度法。高中的时候，数学课专门讲过。印象最深的是老师说:缩放一定要合适，缩放方法要用得恰到好处，结论不言而喻。如果你尺度太大，不仅得不到最终结论，甚至会把你引入歧途。现在高中数学好像已经废除了这种方法。毕竟，与其他解题方法相比，标度法更随意，更难掌握。我们来看看这位中世纪的数学家是如何证明调和级数的发散性的。
奥里斯对调和级数发散性的证明
(1)公式中[]项一次递增为2n。你为什么这么做？经过这样的运算，[]中的每一项都可以化简为(2)中的2-n项，所以每[]中的项之和等于1/2。这样下去，调和级数之和可以超过无穷1/2。显然，调和级数是发散的。
你无处不在——欧拉
这是人们第一次探索调和级数的结果。在后来的研究过程中，人们越来越想用其他计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数的和太复杂了。欧拉迈出了研究这个问题的第一步。
欧拉调和级数近似公式的证明
至此，欧拉得到了调和级数的一个很好的近似公式。但是存在于后面[]的大字符串是什么？基于巴塞尔级数的知识，我们可以清楚的看到【】中的各项是收敛的。其实欧拉用了一个特殊的字母γ来表示这一系列项的和。
因此
调和级数近似公式
这里的γ大约是0.5772156649…..当然，我们也称这个数为欧拉常数。不要觉得这个数字的诞生有多奇怪。人刻意创造这个数字有什么用？其实这个常数在很多数学分析问题中都会出现，它与伽玛函数γ (x)、黎曼函数ζ(s)甚至分数展开都有着千丝万缕的联系。奇怪的是，人们对这个常数的性质知之甚少，甚至连有理数和无理数都难以确定。
你觉得欧拉逼近函数和调和函数和的欧拉常数会完吗？当然不是！
之后的一天，欧拉在纸上画画，瞄准，变换调和级数。欧拉写了这样一个公式:
所有素数的倒数和
很明显，欧拉想看看所有素数的倒数和是怎样的。这个新级数的敛散性和调和级数的敛散性一样吗？
于是欧拉开始不人道地“蹂躏”这个可怜的系列。欧拉第一个发现所有质数的倒数和实际上是发散的。
他的证明很精彩，远比上面得到的调和逼近函数精彩。
欧拉曾在研究ζ(s)函数时得到一把金钥匙工具。这个工具把求和等同于连续乘法，非常漂亮。
所有素数的倒数和与散度的欧拉证明
欧拉的金钥匙是怎么出来的？这里就不详细讨论了。这里我主要讲一下(9)和(10)之间的转化。(9)的连续乘法形式看起来很可怕。其实可以换个角度考虑。我们从小学学过，可以把一个数分解成素数的唯一乘积，比如36=2*3*2*3，40=2*2*5*2。如果数本身是质数，就不需要分解。我们只能把要分解的数限定为自然数。换句话说，我们可以通过素数的组合得到任意自然数。这也叫算术基本定理，是高斯曾经痴迷的数学定理。我们把这个定理放在这里简单应用一下。如果我们懒得完全展开(9)，我们会得到任意素数的幂乘积的倒数和。根据算术逆定理的基本定理，我们还将得到所有自然数的倒数和！因此，自然地，我们得到等式(10)。(当然完整严谨的证明还是需要欧拉的金钥匙，这里只是形象的解释)
高斯痴迷于算术基本定理
如果调和级数和的发散是反常识的话，那么互易素数和的发散就更反人类了。质数远小于自然数。没想到，经过欧拉的推导，他们还是发散的！我们再来分析一下欧拉的证明过程。最后一步，我们利用素数个数无穷大的前提，得出最终结论。那么，如果我们可以先得出素数的倒数和是发散的，那么我们不就可以推导出素数的个数是无穷多个吗？
这种思路很正确，有人会学着走这条路。
北欧神话-挪威
1919年，挪威数学家布鲁姆开辟了一条可以证明孪生素数猜想的“捷径”。他把所有孪生素数的倒数对加在一起。他考虑到如果这个级数还是发散，那岂不是证明了孪生素数是无穷的？？？这个想法真的很令人兴奋。
所以他列出了这个系列:
孪生素数的倒数对的和
但是，根据以往所有的研究经验，素数核心问题的证明永远不是一个简单巧妙的方法可以解决的，孪生素数猜想也不例外。布鲁姆试图证明这个级数是发散的。然而，他尝试了半天，但可悲的是，这个系列收敛在1.902566767686…这个常数也叫布鲁姆常数。毫无疑问，这条证明孪生素数的道路是完全行不通的，欧拉的聪明才智是布鲁姆根本学不来的。在这里，我仿佛听到欧拉在天堂里远远地对布鲁姆说:
“数学好，真的可以为所欲为！”
然而，上天对布鲁姆来说并不太薄，布鲁姆在这个问题的研究中并没有失去一切。他证明了一个非常有趣的结论:
对于任意给定的整数m，可以找到m个相邻的素数，其中不存在孪生素数。
欧拉为调和级数挤出了几个重要的成果:欧拉乘积公式、调和级数逼近公式、互易素数和散度。充分说明调和级数就像一个有价值的数学源泉，欧拉把这个问题慢慢挤压、提炼、转化成各种强大的数学成果，为以后的数学研究准备了相当多的工具。我个人无法用语言来形容这位超级大神。
好问题是数学研究中的宝藏。
我相信调和级数中还有很多不被人注意的性质，仿佛这里就是宝藏，我们所有人一辈子都得不到所有的结果。